平成30年度秋期 システムアーキテクト 午前Ⅱ 問19

台数を増やした極限の考え方

関係式の中で台数を大きくしていくとき、各部分がどう振る舞うかを見極めることが要点です。式を丸暗記するより、どの要素が台数の影響を受け、どの要素が受けないかを区別する視点で整理しましょう。

この問題で問われていること

台数を限りなく増やしたときに性能がどこへ近づくかを問う場面では、台数によって変化する部分と、台数と無関係に残る部分を分けて捉えることが、極限値を考える出発点になります。

視点

極限値を考えるときは、変数を大きくしたときに式の各部分がどう変わるかを一つずつ確かめるのが基本です。台数という変数を含む部分は、台数が増えるにつれて値が変わります。台数を含まない部分は、台数をいくら増やしても値が変わりません。この二種類を見分けると、式全体が最終的にどのような形に落ち着くかを落ち着いて判断しやすくなります。

確認ポイント

• 関係式の各部分について、台数を含む部分と含まない部分に分けて書き出してみる
• 台数を含む部分が、台数を大きくしたときにどちらの向きへ変化するかを確かめる
• 台数を含まない部分が、極限を取った後の式にどのように残るかを意識する

正解

イ

解説

a=0.1を代入するとP=n/(0.9+0.1n)となる。nを限りなく大きくすると、分子と分母のnの係数の比に近づくため、性能上限は10となる。

理由

1台のCPUの性能を1とする相対的な性能単位で、a=0.1は単位を持たない定数です。式に代入すると、P=n/{1+(n-1)×0.1}=n/(0.9+0.1n)となる。nを限りなく大きくすると、Pはnの係数の比1/0.1=10に近づく。

比較

したがって、CPU台数を増やしても性能は10を超える値には近づかない。選択肢では10がこの上限と一致する。5、15、20は、与えられたオーバヘッド定数a=0.1を固定した式の極限値とは一致しない。

選択肢ア

これは不正解だよ。公式条件では、1台のCPUの性能を1とし、オーバヘッド定数a=0.1を固定する。台数nを増やしたときの式の上限は10であり、5はその上限値と一致しない。5になる別の計算過程や条件は、設問の本文からは導けない。

選択肢イ（正解）

これは正解だよ。a=0.1を式に代入すると、P=n/{1+(n-1)×0.1}=n/(0.9+0.1n)となる。nを限りなく大きくしたとき、分子と分母のnの係数の比1/0.1=10に近づくため、性能の上限は相対性能単位で10である。

選択肢ウ

これは不正解だよ。15という値が単位条件を満たさないことが理由なのではない。1台のCPUの性能を1とする条件とa=0.1を用いてnを増やすと、式の上限は10に近づくため、15はその極限値と一致しない。別の誤計算過程は断定できない。

選択肢エ

これは不正解だよ。設問ではオーバヘッド定数a=0.1を用い、CPU台数nを増やした場合の性能上限を求める。式は相対性能単位で10に近づくため、20は公式の数値条件から得られる上限と一致しない。20になる計算過程は本文から特定できない。

学習のポイント

性能式で台数を無限に増やしたときの極限を求める考え方を学ぶ。