平成27年度秋期 ITストラテジスト 午前Ⅰ 問1

集合の関係を整理する視点

記号をすぐ計算に置き換えず、まず全体の範囲と各集合が表す条件を確認し、対象となる要素の関係を同じ基準で読み比べる順序を意識しましょう。最後に、読み取った関係を問題の表現と照合します。

この問題で問われていること

この問題では、全体集合を基準にして、補集合と和集合がどの条件を表すかを整理し、二つの集合の関係を同じ要素の見方で比較する点に注目してください。途中で基準が変わっていないかも確認します。

視点

集合を比較するときは、記号の並びだけで判断せず、対象・条件・基準となる範囲を言葉に直してから、各表現が同じ対象を扱っているかを順に確認します。

確認ポイント

• 全体集合の範囲がどこまでかを確認する
• 各集合が表す条件を同じ言葉で整理する
• 関係を判断する対象と基準をそろえる

正解

エ

解説

̅(A∪B∪C)=∅より、A∪B∪Cは全体集合です。ド・モルガンの法則からĀ∩B̄∩C̄=∅となるため、AにもBにも属さない要素はCに属さなければならない。したがってĀ∩B̄⊆Cが成立する。

理由

条件を変形すると、Ā∩B̄∩C̄=∅となる。これは、AにもBにもCにも属さない要素が存在しないという意味です。したがって、AにもBにも属さない要素は、必ずCに属する。式ではĀ∩B̄⊆Cと表せる。

比較

A∩B、A∩B̄、Ā∩Bはいずれも、AまたはBの少なくとも一方に属する要素を含む。これらの要素は、和集合に属する条件をすでに満たしているため、Cへの所属までは条件から保証されない。一方、Ā∩B̄だけはCへの所属が必要になる。

選択肢ア

これは不正解だよ。AとBの共通部分に属する要素について、条件から分かるのはAまたはBに属することだけであり、Cにも属するとは限らない。したがって、(A∩B)⊆Cは、和集合の補集合が空集合という条件だけでは導けない。

選択肢イ

これは不正解だよ。Aに属しBに属さない要素は、すでにAに属しているため、条件だけからCへの所属は保証されない。よって、(A∩B̄)⊆Cという包含関係は、与えられた条件から必ず成立するものではない。

選択肢ウ

これは不正解だよ。Aに属さずBに属する要素についても、条件はAまたはBまたはCに属することを示すだけである。Bに属していれば条件を満たせるため、Cへの所属までは保証されず、(Ā∩B)⊆Cとはいえない。

選択肢エ（正解）

これは正解だよ。AにもBにも属さない要素は、A∪B∪Cに属するためにCへ属さなければならない。したがって、Ā∩B̄の全要素がCに含まれ、(Ā∩B̄)⊆Cとなる。これは補集合と和集合の関係を言い換えた結果である。

学習のポイント

ド・モルガンの法則と、積集合が空集合になる条件から包含関係を導く方法を学ぶ。