平成30年度秋期 システムアーキテクト 午前Ⅰ 問2

利用率と待ち時間の関係整理

利用率と平均待ち時間を検討するときは、値だけを個別に見るのではなく、前提となる到着・処理・待ち行列の条件をそろえ、両者の変化が整合しているかを丁寧に確認しましょう。

この問題で問われていること

この問題では、利用率の変化を手掛かりに、平均待ち時間との関係を考える際の前提条件が保たれているかに焦点を絞り、数値や選択肢の表面的な印象だけで判断しないことが重要です。

視点

待ち行列の指標は、到着の仕方や処理の条件などを踏まえて比較します。まず同じ前提で指標が並べられているかを確認し、利用率と待ち時間の対応を定性的に捉えましょう。

確認ポイント

• 比較する指標が同じ前提条件に基づいているか確認する
• 指標同士の対応関係を、前提を確認しながら言葉で説明できるか整理する
• 極端な値や境界付近で前提が崩れていないか確かめる

正解

イ

解説

M/M/1の待ち行列で、平均サービス時間をT秒、利用率をρとすると、待ち行列だけの平均待ち時間はρT/(1−ρ)秒で表される。これがT秒以上となる境界を求めると、ρは0.5以上となるため、該当する割合は50％です。

理由

平均処理時間がT秒なので、処理率をμとすると1/μ=T秒です。M/M/1で待ち行列内だけの平均待ち時間はρ/[μ(1−ρ)]秒、すなわちρT/(1−ρ)秒となる。これがT秒以上という条件は、ρT/(1−ρ)≧Tであり、単位をそろえて整理するとρ≧0.5となる。したがって利用率の境界は50％です。

比較

ここでいう待ち時間は、伝票が処理を開始するまで待ち行列に滞留する時間であり、処理中の時間T秒は含めない。利用率が50％では待ち時間がT秒に等しく、50％を超えるとT秒を上回る。各選択肢はこの境界条件を満たすかで判定できる。

選択肢ア

これは不正解だよ。利用率33％では、待ち行列内の平均待ち時間はT×0.33/(1−0.33)秒となり、およそ0.49T秒である。これは基準のT秒未満なので、平均待ち時間がT秒以上となる境界には一致しない。

選択肢イ（正解）

これは正解だよ。M/M/1の待ち行列内平均待ち時間はT×ρ/(1−ρ)秒である。利用率を50％、すなわちρ=0.5とすると、T×0.5/(1−0.5)=T秒となり、設問の「T秒以上」という条件をちょうど満たす。

選択肢ウ

これは不正解だよ。利用率67％では、待ち行列内の平均待ち時間はT×0.67/(1−0.67)秒で、およそ2.03T秒になる。T秒以上ではあるが、これは条件を満たし始める境界ではなく、必要以上に高い利用率である。

選択肢エ

これは不正解だよ。利用率80％では、待ち行列内の平均待ち時間はT×0.8/(1−0.8)=4T秒となる。T秒以上という状態にはなるものの、50％で既に条件を満たすため、境界となる最小の利用率を示していない。

学習のポイント

M/M/1モデルの平均待ち時間と利用率の公式を、処理時間との区別とともに理解する。