令和7年度秋期 プロジェクトマネージャ 午前Ⅰ 問1

待ち行列を考えるときの確認視点

待ち行列の指標を整理するときは、到着する仕事と処理する能力の釣り合いをまず捉え、混雑の度合いが変わると各指標の関係をどう読み取るべきか、前提条件と単位を確認しながら考えます。

この問題で問われていること

利用率と待ち時間の関係を判断する前に、対象としている待ち行列の前提、観測する時間範囲、到着側と処理側の条件がそろっているかを確認し、数値だけでなく傾向の読み方に焦点を置きます。

視点

待ち行列を分析するときは、到着の頻度、処理に要する時間、処理設備の数、観測対象の範囲を分けて整理します。そのうえで、同じ前提のもとで利用率と待ち時間を比較し、説明が前提と矛盾しないかを点検します。

確認ポイント

• 到着側と処理側の条件が、同じ期間・同じ単位で比較されているか。
• 利用率と待ち時間が、どの前提や観測範囲に基づく指標なのか。
• 示された関係の説明が、混雑度の変化と前提条件の両方に整合しているか。

正解

イ

解説

M/M/1待ち行列では、利用率をρとすると平均待ち時間は利用率に応じて増加する。平均処理時間T秒を基準に条件を整理すると、境界はρ=0.5となるため、少なくとも50%以上で条件を満たす。

理由

利用率をρ、平均サービス時間をT秒とすると、平均待ち時間はρT/(1−ρ)で表せる。これがT秒以上となる条件は、ρT/(1−ρ)≧T秒であり、単位をそろえて整理するとρ≧0.5となる。したがって境界は50%です。

比較

利用率が50%未満なら平均待ち時間はT秒未満、50%ならT秒、50%を超えるとT秒を超える。M/M/1では利用率が高いほど待ち時間が増えるため、設問の「少なくとも」という条件にも一致する。

選択肢ア

これは不正解だよ。33%では、平均待ち時間ρT/(1−ρ)はT秒より小さくなる。したがって、設問が求める平均待ち時間T秒以上の境界条件を満たさない。利用率を百分率で表す場合も、33%は境界となる50%より低い値である。

選択肢イ（正解）

これは正解だよ。利用率をρとすると、平均待ち時間はρT/(1−ρ)で表される。これが平均処理時間T秒以上となる条件を整理するとρ≧0.5となるため、利用率が少なくとも50%以上で条件を満たす。

選択肢ウ

これは不正解だよ。67%では確かに平均待ち時間T秒以上となるが、設問は条件を満たし始める最小の利用率を尋ねている。50%の時点ですでに境界条件を満たすため、67%は必要以上に高い値である。

選択肢エ

これは不正解だよ。80%では平均待ち時間T秒以上となるものの、条件を満たすために必要な最小の利用率ではない。M/M/1の式から境界は50%であり、80%はその条件を大きく上回っている。

学習のポイント

M/M/1の利用率と平均待ち時間の公式を、平均処理時間との比較で理解する。