平成27年度春期 プロジェクトマネージャ 午前Ⅰ 問1

前提条件を整理してから比較する

待ち行列の問題では、結論を急ぐ前に、変更前と変更後でどの量が変わりどの量が変わらないのかを自分の言葉で書き出すことが大切です。前提を揃えてから比較すると、思い込みによる判断を避けやすくなります。

この問題で問われていること

確認すべき観点は一つ、比較の前提となる条件の整理です。到着の様子、処理にかかる時間、窓口の数などについて、変更の前後で何が同じで何が異なるかを明確にし、その上で問われている指標の定義に立ち返って考えてください。

視点

待ち行列の指標は、到着の頻度と処理の能力の関係から定まる量と、その量をもとに導かれる量とに分けると整理しやすくなります。条件を一つ変えたときに、どの指標へどの順で影響が及ぶかを定義に沿って追う練習をしておくと、直感だけに頼らずに判断できます。

確認ポイント

• 変更前と変更後で、到着の頻度や処理の能力がそれぞれどう扱われているかを書き出したか
• 問われている指標がどのような量の比や関係として定義されているかを、自分の言葉で説明できるか
• 直感的な印象ではなく、整理した前提と定義から結論を導いているか

正解

エ

解説

統合後は到着率が2倍になり、利用率は2ρになるよ。M/M/1の平均待ち時間（サービス時間を含まない）は利用率/(1−利用率)×T_Sなので、2ρ/(1−2ρ)×T_Sになるんだ。

式の導出

統合前の各支店の到着率をλ（人/分）とし、ATM1台あたりの平均サービス時間は統合前後で同じT_S（分/人）とみなすと、ρ=λ×T_Sだよ。統合後の到着率は2λ（人/分）なので、利用率はρ'=2λ×T_S=2ρになるね。M/M/1の平均待ち時間（サービス時間を含まない）はρ'/(1−ρ')×T_Sだから、2ρ/(1−2ρ)×T_S（分）が答えだよ。「十分に処理できる」という条件は2ρ<1を意味しているんだ。

数値で比較

例えばρ=0.3、T_S=1分で各選択肢を計算してみよう。アは0.3/0.7≈0.43分（統合前の値）、イは0.3/0.4=0.75分、ウは0.6/0.7≈0.86分、エは0.6/0.4=1.5分になるよ。利用率を分子と分母の両方で2ρに置き換えたエだけが、統合後の正しい値になるんだ。1台に統合すると、利用率が上がって待ち時間が大きく増えることも分かるね。

選択肢ア

これは不正解だよ。ρ/(1−ρ)×T_Sは利用率ρのままのM/M/1の平均待ち時間で、統合前の各支店の値にあたるよ。統合後は利用者数が両支店の合計になるので到着率が2倍、利用率は2ρになるんだ。だから分子も分母も2ρに置き換える必要があるよ。ρ=0.3、T_S=1分なら約0.43分になり、正しい値の1.5分と一致しないね。

選択肢イ

これは不正解だよ。ρ/(1−2ρ)×T_Sは、分母には統合後の利用率2ρを使っているのに、分子は統合前の利用率ρのままになっている式だよ。M/M/1の平均待ち時間の式では同じ利用率を分子と分母の両方に入れるので、分子も2ρにしないと合わないんだ。ρ=0.3、T_S=1分なら0.75分で、正しい値の1.5分のちょうど半分になるよ。

選択肢ウ

これは不正解だよ。2ρ/(1−ρ)×T_Sは、分子は統合後の利用率2ρにしているのに、分母は統合前の1−ρのままだよ。統合後の空き具合は1−2ρで表す必要があって、分母を変えないと混雑で待ち時間が急に増える効果を反映できないんだ。ρ=0.3、T_S=1分なら約0.86分になり、正しい値の1.5分より小さく見積もってしまうよ。

選択肢エ（正解）

これは正解だよ。統合前の各支店の到着率をλ（人/分）とするとρ=λ×T_Sだよ。統合後の到着率は2λなので、利用率は2λ×T_S=2ρになるね。M/M/1の平均待ち時間（サービス時間を含まない）は利用率/(1−利用率)×平均サービス時間だから、2ρ/(1−2ρ)×T_S（分）になるんだ。「十分に処理できる」という条件は2ρ<1を前提にしているよ。

学習のポイント

M/M/1の平均待ち時間の公式と、到着率の変化が利用率に比例して反映される関係を押さえよう。