令和元年度秋期 ITストラテジスト 午前Ⅰ 問1

補集合との関係を見極める視点

集合演算を考えるときは、対象となる全体集合を基準に、補集合がどの範囲を表すかを確認し、演算の順序と対応関係を整理してから各表現を比べます。記号だけで判断せず、関係を段階的に確認することが重要です。

この問題で問われていること

この問題では、式をそのまま計算する前に、全体集合・部分集合・補集合の対応を一つの図や対応表で整理し、どの集合を基準に比較しているかという点に注目してください。

視点

補集合を含む集合演算では、まず基準となる全体の範囲を固定し、そのうえで各集合の関係、演算の適用順序、結果が表す範囲を同じ観点で照合します。

確認ポイント

• 基準となる全体集合が、問題中で一貫して扱われているか確認する。
• 補集合を取る対象と、その前後で適用される演算の順序を確認する。
• 式や図が表す範囲を、集合の包含関係と照らして確認する。

正解

ア

解説

Aの補集合とBの補集合の共通部分は、AにもBにも属さない要素の集合です。差集合の定義に当てはめると、アの表現が同じ条件を表している。

理由

A̅∩B̅は、全体集合Sの要素のうちAに含まれず、かつBにも含まれないものを集めた集合です。A̅−Bも、A̅に含まれる要素からBに含まれるものを除くため、AにもBにも含まれない要素だけが残り、両者は一致する。

比較

ド・モルガンの法則によれば、二つの補集合の共通部分は和集合の補集合とも表せる。ただし、各選択肢を判断する際は、差集合の順序や、Sから何を除いているかを要素単位で確認する必要がある。

選択肢ア（正解）

これは正解だよ。A̅−Bは、まずAに属さない要素を対象にし、その中からBに属する要素を除く集合である。したがって、AにもBにも属さない要素だけが残り、A̅∩B̅が表す条件と一致する。

選択肢イ

これは不正解だよ。A̅∪B̅は、Aに属さない要素またはBに属さない要素を含む集合である。そこからA∩Bを除いても、AやBの一方だけに属する要素などが残るため、両方に属さない要素だけを表す集合とは一致しない。

選択肢ウ

これは不正解だよ。S−AはA̅、S−BはB̅に相当するため、この選択肢は二つの補集合の和集合を表している。和集合ではどちらか一方の補集合に属する要素も含むので、両方の補集合に共通する要素だけを表す条件とは異なる。

選択肢エ

これは不正解だよ。S−(A∩B)は、AとBの両方に属する要素を全体集合Sから除いた集合である。そのため、Aだけに属する要素やBだけに属する要素も含まれる。AにもBにも属さない要素だけを表す集合より広い範囲になる。

学習のポイント

集合演算を要素の所属条件へ分解し、補集合・差集合の意味を正確に対応させる。