平成26年度春期 プロジェクトマネージャ 午前Ⅰ 問1

小数表現の見分け方を整理

進数変換では、変換前後の値を同じものとして扱いながら、小数部分の表し方に注目します。まず表記の規則と計算結果を分け、有限かどうかを判断する観点を一つずつ確認しましょう。

この問題で問われていること

確認の中心は、変換後の小数部分がどのような表記のまとまりとして現れるかです。値の意味と書き方を混同せず、途中で現れる変化を順序立てて観察してください。一つの視点に絞りましょう。

視点

進数変換の小数は、値の対応関係と表記の続き方を分けて考えると整理しやすくなります。変換の各段階で何を確認するかを決め、有限性だけに焦点を絞って比較しましょう。

確認ポイント

• 値の対応と表記の特徴を分けて見ているか
• 小数部分だけに視点を固定できているか
• 観察した内容を一つの基準で整理できているか

正解

イ

解説

二進数で有限小数になるのは、分数に直して約分した後の分母が2の累乗だけで構成される場合です。0.45はこの条件を満たさないため、二進数では無限小数になる。

理由

0.45（10進小数）を分数にすると、0.45＝45/100＝9/20となる。分母20は2の累乗だけでなく5を含むため、2進数の桁は有限で終わらず、無限小数になる。よってイが条件に合う。

比較

他の値は、0.375＝3/8、0.625＝5/8、0.75＝3/4であり、いずれも約分後の分母が2の累乗だけです。そのため、それぞれ二進数では有限桁で表現できる。

選択肢ア

これは不正解だよ。0.375は0.375＝375/1000＝3/8と約分でき、分母が2の累乗だけになる。したがって、2進数では0.011のように有限桁で表せる。無限小数になる条件に当てはまらないため、この選択肢は不適切である。

選択肢イ（正解）

これは正解だよ。0.45は0.45＝45/100＝9/20と約分できる。分母20は2の累乗だけではなく5を含むため、2進数で有限桁に収まらず、循環を伴う無限小数になる。したがって設問の条件に合う。

選択肢ウ

これは不正解だよ。0.625は0.625＝625/1000＝5/8と約分でき、分母8は2の累乗である。そのため、2進数では0.101のように有限桁で表現できる。2進表現が無限小数になるという条件とは一致しない。

選択肢エ

これは不正解だよ。0.75は0.75＝75/100＝3/4と約分でき、分母4は2の累乗である。したがって、2進数では0.11のように有限桁で表せる。無限小数となる選択肢ではないため、条件を満たさない。

学習のポイント

小数の基数変換では、分数化と約分後の分母に注目する。