令和3年度秋期 データベーススペシャリスト 午前Ⅰ 問1

接線近似の手順を見直す視点

非線形方程式を接線で近似するときは、各段階の目的と結果の受け渡しに注目し、個別の式や数値ではなく、手順全体の整合性を確認しましょう。

この問題で問われていること

初期の見積もりから近似結果を得て、必要に応じて次の見積もりへ進む流れが、問題文の説明と矛盾なくつながっているかを確認してください。

視点

接線による近似は、準備・評価・更新・停止判断という各役割のつながりを整理し、手順の流れが一貫しているかを見ると理解しやすくなります。

確認ポイント

• 各段階の目的と、前後の結果の関係が自然につながっているか
• 近似結果を次の判断に使う場面と、使わない場面を区別できているか
• 手順の順序と、終了を判断する観点が全体で一貫しているか

正解

エ

解説

与えられた手順は、関数の現在の近似点における接線を求め、その接線とx軸の交点を次の近似値として反復する方法です。この特徴はニュートン法に一致する。

理由

点(x₀、f(x₀))での接線は、関数をその点の近くで一次関数として近似したものです。その接線がx軸と交わる位置を新しいx₀に置き換えていく手順は、非線形方程式の解を反復的に求めるニュートン法の定義に該当する。

比較

オイラー法は微分方程式の数値解、ガウスの消去法は連立一次方程式、シンプソン法は定積分の数値計算に用いる。いずれも、設問のように接線のx軸との交点を反復利用する方法ではありません。

選択肢ア

これは不正解だよ。オイラー法は、微分方程式の初期値問題で、現在の点における傾きから次の時刻の値を近似する方法である。設問のように、非線形方程式の曲線へ接線を引き、そのx軸との交点を次の近似値にする手順とは目的と更新方法が異なる。

選択肢イ

これは不正解だよ。ガウスの消去法は、複数の未知数を含む連立一次方程式を、行の変形によって解く方法である。関数の一点における接線を求めたり、その接線とx軸の交点を反復的に利用したりする設問の手順には該当しない。

選択肢ウ

これは不正解だよ。シンプソン法は、区間内の関数を低次の曲線で近似して、定積分の値を数値的に求める方法である。求めたいものは積分値であり、曲線上の一点で接線を求めて方程式の解へ近づける手順とは異なる。

選択肢エ（正解）

これは正解だよ。ニュートン法は、現在の近似値x₀で関数の接線を求め、その接線とx軸の交点を新しい近似値として繰り返すことで、非線形方程式f(x)=0の解に近づける方法である。設問の三段階の手順と一致する。

学習のポイント

接線による近似と、微分を用いた反復更新の関係を理解する。