令和3年度春期 システムアーキテクト 午前Ⅰ 問5

信頼性計算と関数のグラフ

接続方式に応じた確率計算と、グラフを比較する手順を準備しましょう。

この問題で問われていること

直列・並列接続の信頼性計算では、事象の独立性や余事象をどのように使い分けるでしょうか。

信頼性計算と関数のグラフ

直列・並列接続の信頼性計算では、事象の独立性や余事象をどのように使い分けるでしょうか。

確認ポイント

• 直列接続と並列接続の例を調べ、稼働・停止の条件をそれぞれどのような事象で表すか比較できますか。
• 確率を掛け合わせるために必要な前提と、複数の事象の確率を足す際に重複を扱う方法を確認できますか。
• 四つの装置の稼働・停止を場合分けするとき、漏れや重複を防ぐ表をどう作れますか。 関数のグラフを比較する際、端点・区間内の値・基準線との差をどの順に調べると候補を絞れるでしょうか。

正解

エ

解説

添付の公式解答表で，問5の正解は「エ」と確認できる。図は，装置2台を直列につないだ経路を2本並列にした構成です。各装置の稼働を独立として計算すると，1本の経路の稼働率は x²，停止率は 1 − x² となる。システム全体が停止するのは両方の経路が停止するときなので，f(x) = 1 − (1 − x²)² = 2x² − x⁴。破線との差は f(x) − x = x(1 − x)(x² + x − 1) であり，0 < x < (√5 − 1)/2 では負，(√5 − 1)/2 < x < 1 では正となる。また，f''(x) = 4 − 12x² は途中で正から負に変わる。したがって，原点付近では破線より下にあり，途中で破線を横切り，最後は破線より上から (1、 1) に達する「エ」の形になる。

添付の公式解答表で，問5の正解は「エ」と確認できる。図は，装置2台を直列につないだ経路を2本並列にした構成です。各装置の稼働を独立として計算すると，1本の経路の稼働率は x²，停止率は 1 − x² となる。システム全体が停止するのは両方の経路が停止するときなので，f(x) = 1 − (1 − x²)² = 2x² − x⁴。破線との差は f(x) − x = x(1 − x)(x² + x − 1) であり，0 < x < (√5 − 1)/2 では負，(√5 − 1)/2 < x < 1 では正となる。また，f''(x) = 4 − 12x² は途中で正から負に変わる。したがって，原点付近では破線より下にあり，途中で破線を横切り，最後は破線より上から (1、 1) に達する「エ」の形になる。

選択肢ア

誤り。このグラフは区間の内部で破線 y = x より上にある。しかし，このシステムの稼働率 f(x) = 2x² − x⁴ は，x が小さい範囲では x より小さくなる。

選択肢イ

誤り。このグラフは区間の内部で破線 y = x より下にある。しかし，このシステムでは，x が 1 に近い範囲で f(x) は x より大きくなる。

選択肢ウ

誤り。このグラフは，x が小さい範囲では破線より上，大きい範囲では破線より下にある。このシステムの f(x) と x の大小関係は逆になる。

選択肢エ（正解）

正しい。公式解答表の問5は「エ」。f(x) = 2x² − x⁴ は，x が小さい範囲では破線より下，大きい範囲では破線より上にあり，途中で曲がり方が変わる。このグラフがその傾向を表している。

学習のポイント

直列・並列接続の信頼性計算では、事象の独立性や余事象をどのように使い分けるでしょうか。