令和6年度秋期 データベーススペシャリスト 午前Ⅱ 問19

組合せ総数を比べる前の条件整理

文字の種類や桁数が変わると、作れる組合せの数がどう変わるかを比べる場面では、計算に入る前に、各条件で何が固定され何が変化しているかを整理することが大切です。条件の読み違いを防ぐ視点を確認しましょう。

この問題で問われていること

設問の条件を読み、1つの位置に入りうる文字が何通りあるか、そして位置がいくつあるかを、比較する各ケースごとに区別して書き出せているかが焦点です。どちらの要素が変化しているのかを意識して整理しましょう。

視点

組合せの数を比べたり必要な長さを見積もったりするときは、まず条件を要素に分けて整理します。要素とは、使える文字の種類と、並べる位置の数です。これらを混同したまま計算に進むと、比較の前提がずれてしまいます。まず各ケースの条件を並べて書き出し、どの要素が共通でどの要素が異なるかを確認してから検討に入る習慣をつけましょう。

確認ポイント

• 比較する各ケースについて、使える文字の種類数を条件から数え漏れや重複なく数えているか
• 比較する各ケースについて、桁数（長さ）が条件でどのように指定されているかを読み取っているか
• 求められているのが総数の比較なのか、必要な長さの見積もりなのかを、答える前に確認したか

正解

エ

解説

変更前の総数は10^16通り、変更後は95^n通りです。95^n > 10^16 の常用対数をとると n×1.98 > 16 となり、n > 8.08… です。これを満たす最小の整数は9なので、正解はエの9桁です。

理由

変更前は数字10種類×16桁なので、総数は10^16通り（log₁₀ = 16）です。変更後は95種類×n桁で95^n通り、log₁₀ 95^n = n × log₁₀ 95 = 1.98n です。条件の 95^n > 10^16 は 1.98n > 16 と同じ意味なので、n > 16 ÷ 1.98 = 8.08… です。これを満たす最小の整数は n = 9桁です。

比較

各桁数での常用対数は、6桁で11.88、7桁で13.86、8桁で15.84、9桁で17.82です。8桁は約10^15.84（約6.9×10^15通り）で、10^16にわずかに届きません。9桁で初めて16を超え、約10^17.82通りとなって変更前より多くなります。

選択肢ア

これは不正解だよ。6桁の総数は95^6通りで、常用対数は 6 × 1.98 = 11.88、つまり約10^11.88通りです。変更前の数字16桁は10^16通り（対数16）なので、約4桁分も少なく、「変更前より多くする」という条件を満たしません。

選択肢イ

これは不正解だよ。7桁の総数は95^7通りで、常用対数は 7 × 1.98 = 13.86、つまり約10^13.86通りです。変更前の10^16通り（対数16）に比べて、まだ2桁以上少ないため、総数を変更前より多くするには足りません。

選択肢ウ

これは不正解だよ。8桁の総数は95^8通りで、常用対数は 8 × 1.98 = 15.84、つまり約10^15.84（約6.9×10^15）通りです。変更前の10^16通りにわずかに届かず、「より多く」という条件を満たさない境目の桁数です。

選択肢エ（正解）

これは正解だよ。条件は 95^n > 10^16 です。常用対数をとると 1.98n > 16 となり、n > 8.08… です。9桁なら 9 × 1.98 = 17.82 で、約10^17.82通りとなり、変更前の10^16通りを上回ります。8桁では足りないため、9桁が最小の桁数です。

学習のポイント

総数を「種類数の桁数乗」で表し、常用対数に直して大小を比べる手順を身に付けることが大切です。